1. Area lights
让任何模型都能成为光源。
Step 1
使用蒙特卡洛积分均匀采样来计算光照。
需要修改 Mesh 类来实现。
在光源模型的表面均匀采样，每次采样需要返回以下信息：
- 在模型表面获得的采样点的坐标
p - 模型表面在
p点的法线n。- 如果
mesh提供了每个顶点的法线，使用这些信息来计算法线 - 否则通过向量叉乘来计算。
- 如果
- 本次采样的概率密度。由于采用均匀采样，每次的概率密度应该均为整个模型总表面积分之一。
DiscretePDF 类实现了管理所有三角面概率密度的方法。
在三角形内均匀取点可以通过下列给定的参数来计算：
$$
\begin{pmatrix}
\alpha\\
\beta
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 - \sqrt{1 - \xi_1}\\
\xi_2\, \sqrt{1 - \xi_1}
\end{pmatrix}
$$
其中 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 是 $[0,1]$ 上的均匀分布。
则使用三个顶点的线性组合计算得到三角形内的均匀采样，使用的系数为 $(\alpha, \beta, 1-\alpha-\beta)$
在 Mesh 类中添加声明和定义：
/// nori/mesh.h
class Mesh {
public:
// ...
MeshSampleResult sampleTriangleUniform(Sampler* sampler) const;
protected:
// ...
DiscretePDF m_dis_pdf;
};
/// src/mesh.cpp
void Mesh::activate() {
if (!m_bsdf) {
// ...
}
m_dis_pdf = DiscretePDF(getTriangleCount());
for (uint32_t i = 0; i < getTriangleCount(); i++) {
auto area = surfaceArea(i);
m_dis_pdf.append(area);
}
m_dis_pdf.normalize(); // 归一化
}
MeshSampleResult Mesh::sampleTriangleUniform(Sampler* sampler) const {
MeshSampleResult res;
uint32_t idx = m_dis_pdf.sample(sampler->next1D());
auto samp = sampler->next2D();
auto alpha = 1 - sqrt(1 - samp.x());
auto beta = samp.y() * sqrt(1 - samp.x());
Point3f v[3];
for (int i = 0; i < 3; i++) {
v[i] = m_V.col(m_F(i, idx));
}
res.p = v[0] * alpha + v[1] * beta + v[2] * (1 - alpha - beta);
if (m_N.size()) { // 如果 mesh 提供了所有顶点处的法线
Normal3f n[3];
for (int i = 0; i < 3; i++) {
n[i] = m_N.col(m_F(i, idx));
}
res.n = (n[0] * alpha + n[1] * beta + n[2] * (1 - alpha - beta)).normalized();
} else {
auto e1 = v[1] - v[0];
auto e2 = v[2] - v[0];
res.n = e1.cross(e2).normalized();
}
res.pdf = m_dis_pdf.getNormalization();
return res;
}
Step 2
比着 BSDF 接口抄一份 Emitter 接口。
仿照 BSDFQueryRecord 写的 EmitterQueryRecord 里面放什么暂时先不管。
struct EmitterQueryRecord {
};
/**
* \brief Superclass of all emitters
*/
class Emitter : public NoriObject {
public:
virtual Color3f sample(const Mesh* mesh, EmitterQueryRecord& eRec, Sampler* sampler) const = 0;
virtual Color3f eval(const EmitterQueryRecord& eRec) const = 0;
virtual float pdf(const EmitterQueryRecord& eRec) const = 0;
/**
* \brief Return the type of object (i.e. Mesh/Emitter/etc.)
* provided by this instance
* */
EClassType getClassType() const { return EEmitter; }
};
然后在 area.cpp 里实现这个接口，记得添加到 CMakeLists.txt
#include <nori/emitter.h>
#include <nori/mesh.h>
NORI_NAMESPACE_BEGIN
class AreaLight : public Emitter {
public:
AreaLight(const PropertyList& prop) {
m_radiance = prop.getColor("radiance");
}
Color3f sample(const Mesh* mesh, EmitterQueryRecord& eRec, Sampler* sampler) const {
auto mRes = mesh->sampleTriangleUniform(sampler);
eRec.n = mRes.n;
eRec.p = mRes.p;
eRec.px = (eRec.p - eRec.x).normalized();
auto p = pdf(mesh, eRec);
if (!isnan(p) && !isinf(p) && p > 0) {
return eval(eRec) / p;
}
return Color3f(0.0f);
}
Color3f eval(const EmitterQueryRecord& eRec) const {
return (eRec.n.dot(eRec.px) < 0.0f) ? m_radiance : Color3f(0.0f);
}
float pdf(const Mesh* mesh, const EmitterQueryRecord& eRec) const {
auto cosTheta = eRec.n.dot(-eRec.px);
if (cosTheta > 0.0f) {
auto p = mesh->getDiscreatePDF().getNormalization();
auto px = eRec.p - eRec.x;
return p * px.dot(px) / cosTheta;
}
return 0;
}
std::string toString() const {
return tfm::format(
"AreaLight[\n"
" m_radiance =
"]",
m_radiance.toString());
}
private:
Color3f m_radiance;
};
NORI_REGISTER_CLASS(AreaLight, "area")
NORI_NAMESPACE_END
struct EmitterQueryRecord {
Point3f x;
Point3f p;
Normal3f n;
Vector3f px;
EmitterQueryRecord(const Point3f& _x)
: x(_x) {}
EmitterQueryRecord(const Point3f& _x, const Point3f& _p, const Normal3f& _n)
: x(_x), p(_p), n(_n) {
px = (_p - _x).normalized();
}
};
2. Distribution Ray Tracing
渲染方程长这个样子。
$$
L_r(\vx,\omega_r) = \int_{\mathcal{H}^2} f_r (\vx,\omega_i,\omega_r)\,L_i (\vx,\omega_i) \cos\theta_i\, \mathrm{d}\omega_i.
$$
其中 $f_r$ 是材质函数，已经由 bsdf 实现好了。同时我们实现了 $L_i$ 的计算。
但是，这个任务中我们只计算直接光照，这就意味着，除了射线碰巧击中光源，其他地方返回都是 0，这样做的效率极低，只有一部分射线会碰到光源，其他射线会产生大量噪点。所以我们需要让射线更容易击中光源。
更好的办法是，直接在光源上采样并检查可见性，而不是在物体表面采样。这意味着我们需要将渲染方程从半球上改写到光源上。
$$
L_r(\vx,\omega_r) = \int_{\mathcal{L}} f_r (\vx,\vx\to\vy,\omega_r)\,L_e (\vy,\vy\to\vx) \, \mathrm{d} \vy?? \qquad(\text{warning: this is not (yet) correct})
$$
其中 $\mathbf{x}\to\mathbf{y}$ 表示从 $\mathbf{x}$ 到 $\mathbf{y}$ 的归一化方向， $L_e(\mathbf{x},\omega)$ 表示在 $\mathbf{x}$ 点向 $\omega$ 方向发射的 radiance
但是这个积分算式不正确，因为我们将积分变量从立体角改为了位置，应该有一个匹配的因子来修正这一点，这里我们把它称为几何项
$$
G(\vx\leftrightarrow\vy) :=V(\vx\leftrightarrow\vy)\frac{
|\vn_\vx \cdot(\vx\to\vy)|\,\cdot\,
|\vn_\vy \cdot(\vy\to\vx)|}{|\vx-\vy|^2}
$$
第一项 $V(\mathbf{x}\leftrightarrow\mathbf{y})$ 是可见性函数，0 表示不可见，1 表示可见。分子包含两个点乘的绝对值，相当于把光源面积投影到着色点单位圆上的那块面积，分母是我们在使用点光源渲染时已经观察到的平方反比衰减。最终的渲染方程是：
$$
L_r(\vx,\omega_r) = \int_{\mathcal{L}} f_r (\vx,\vx\to\vy,\omega_r)\,G(\vx\leftrightarrow\vy)\,L_e (\vy,\vy\to\vx)\, \mathrm{d} \vy
$$
只需要按照如下步骤操作：
- 在
src/whitted.cpp创建一个新的积分器 - 这个积分器应当先像
simple一样先找到与摄像头相交的最近的一个点 $\mathbf{x}$ ，返回的值L_i应该由如下式子得出：
$$
L_i(\vc,\omega_c)= L_e(\vr(\vc, \omega_c), -\omega_c) + L_r(\vr(\vc, \omega_c), -\omega_c).
$$
其中 $L_e$ 是该物体本身发出的光（如果该物体是光源），另一部分则是下一步采样得出的。 - 对于每个采样点 $\mathbf{x}$ 都应该通过随机在光源上采样得到点 $\mathbf{y}$ 并计算：
$$
f_r (\vx,\vx\to\vy,\omega_r)\,G(\vx\leftrightarrow\vy)\,L_e (\vy,\vy\to\vx)
$$
将上式除以光源上当前采样点的概率密度。
最终得到主要代码：
class WhittedIntegrator : public Integrator {
public:
WhittedIntegrator(const PropertyList& props) {}
Color3f Li(const Scene* scene, Sampler* sampler, const Ray3f& ray) const {
Intersection its;
if (!scene->rayIntersect(ray, its)) {
return Color3f(0.0f);
}
Color3f L_emitter(0.0f);
if (its.mesh->isEmitter()) {
EmitterQueryRecord eRec(ray.o, its.p, its.shFrame.n);
L_emitter = its.mesh->getEmitter()->eval(eRec);
}
auto light = scene->getRandomEmitter(sampler->next1D());
EmitterQueryRecord eRec(its.p);
auto Le = light->getEmitter()->sample(light, eRec, sampler);
auto cosTheta = Frame::cosTheta(its.shFrame.toLocal(eRec.px));
if (cosTheta < 0) {
return L_emitter;
}
if (scene->rayIntersect(Ray3f(eRec.x, eRec.px, Epsilon, (eRec.p - eRec.x).norm() - Epsilon))) {
return L_emitter;
}
BSDFQueryRecord bRec(its.toLocal(-ray.d), its.toLocal(eRec.px), ESolidAngle);
auto fr = its.mesh->getBSDF()->eval(bRec);
return L_emitter + Le * fr * cosTheta * scene->getEmitters().size();
}
std::string toString() const {
return "WhittedIntegrator[]";
}
};
class AreaLight : public Emitter {
public:
AreaLight(const PropertyList& prop) {
m_radiance = prop.getColor("radiance");
}
Color3f sample(const Mesh* mesh, EmitterQueryRecord& eRec, Sampler* sampler) const {
auto mRes = mesh->sampleTriangleUniform(sampler);
eRec.n = mRes.n;
eRec.p = mRes.p;
eRec.px = (eRec.p - eRec.x).normalized();
auto p = pdf(mesh, eRec);
if (!isnan(p) && !isinf(p) && p > 0) {
return eval(eRec) / p;
}
return Color3f(0.0f);
}
Color3f eval(const EmitterQueryRecord& eRec) const {
return (eRec.n.dot(eRec.px) < 0.0f) ? m_radiance : Color3f(0.0f);
}
float pdf(const Mesh* mesh, const EmitterQueryRecord& eRec) const {
auto cosTheta = eRec.n.dot(-eRec.px);
if (cosTheta > 0.0f) {
auto p = mesh->getDiscreatePDF().getNormalization();
auto px = eRec.p - eRec.x;
return p * px.dot(px) / cosTheta;
}
return 0;
}
std::string toString() const {
return tfm::format(
"AreaLight[\n"
" m_radiance =
"]",
m_radiance.toString());
}
private:
Color3f m_radiance;
};
注意：其实还需要对八叉树进行一些修改使其支持多个 mesh，同时需要在场景中实现一个随机取光源的函数。
3. Dielectrics
在 src/mirror.cpp 里已经实现好了一个基于 Dirac delta function 的镜面反射的 mirror 材质。
并且还在 src/common.cpp 里实现好了一个 fresnel 函数用来计算介电材料的非偏振菲涅尔反射系数。
只需要实现一个电介质（绝缘体？晶体？）材质放在 src/dielectric.cpp 里面就好了。
只要根据入射角的菲涅尔结果选择光线是反射还是折射就好了。
主要代码如下：
static Vector3f refract(const Vector3f& wi, const Vector3f& n, float eta) {
float cosThetaI = wi.dot(n);
if (cosThetaI < 0)
eta = 1 / eta;
float cosThetaTSqr = 1 - (1 - cosThetaI * cosThetaI) * eta * eta;
if (cosThetaTSqr <= 0)
return Vector3f(0);
float sign = (cosThetaI >= 0) ? 1 : -1;
return n * (-cosThetaI * eta + sign * sqrt(cosThetaTSqr)) + wi * eta;
}
class Dielectric : public BSDF {
public:
// ...
Color3f sample(BSDFQueryRecord& bRec, const Point2f& sample) const {
bRec.measure = EDiscrete;
float kr = fresnel(Frame::cosTheta(bRec.wi), m_extIOR, m_intIOR);
if (sample.x() < kr) {
bRec.wo = Vector3f(-bRec.wi.x(), -bRec.wi.y(), bRec.wi.z());
bRec.eta = 1;
} else {
auto cosThetaI = Frame::cosTheta(bRec.wi);
Vector3f n(0, 0, (cosThetaI < 0) ? -1 : 1);
float factor = (cosThetaI < 0) ? (m_extIOR / m_intIOR) : (m_intIOR / m_extIOR);
bRec.wo = refract(-bRec.wi, n, factor);
bRec.eta = m_intIOR / m_extIOR;
}
return Color3f(1);
}
// ...
}
4. Whitted-style ray tracing
最后实现一个 Whitted-style 光线追踪就好了，只要根据采样点的材质选择光线的走向。
因为反射跟折射会让光线继续前进，直到射在漫反射（diffuse）材质上。使用如下递归方法来估计最终的光强：
$$
L_i(\vc, \omega_c) =
\begin{cases}
\frac{1}{0.95}c L_i(\vx, \omega_r),&\text{if $\xi < 0.95$}\\
0,&\text{otherwise}
\end{cases}
$$
其中 $\xi$ 是一个随机数。
把 WhittedIntegrator 修改成下面这样就好了：
Color3f Li(const Scene* scene, Sampler* sampler, const Ray3f& ray) const {
Intersection its;
if (!scene->rayIntersect(ray, its)) {
return Color3f(0.0f);
}
if (its.mesh->getBSDF()->isDiffuse()) {
Color3f L_emitter(0.0f);
// ...
return L_emitter + Le * fr * cosTheta * scene->getEmitters().size();
} else {
BSDFQueryRecord bRec(its.toLocal(-ray.d));
Color3f refColor = its.mesh->getBSDF()->sample(bRec, sampler->next2D());
if (sampler->next1D() < 0.95 && refColor.x() > 0) {
return Li(scene, sampler, Ray3f(its.p, its.toWorld(bRec.wo))) / 0.95 * refColor;
} else {
return Color3f(0);
}
}
}
Comments NOTHING