[NOIP1998 提高组] 进制位

题目描述

著名科学家卢斯为了检查学生对进位制的理解，他给出了如下的一张加法表，表中的字母代表数字。 例如：

+    L    K      V      E
L    L    K      V      E
K    K    V      E     KL
V    V    E     KL     KK
E    E    KL    KK     KV

其含义为：

$L+L=L$，$L+K=K$，$L+V=V$，$L+E=E$

$K+L=K$，$K+K=V$，$K+V=E$，$K+E=KL$

$\cdots$

$E+E=KV$

根据这些规则可推导出：$L=0$，$K=1$，$V=2$，$E=3$。

同时可以确定该表表示的是 $4$ 进制加法。

输入格式

第一行一个整数 $n$ （$3\le n\le9$）表示行数。

以下 $n$ 行，每行包括 $n$ 个字符串，每个字符串间用空格隔开。）

若记 $s{i,j}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 个字符串，数据保证 $s{1,1}=\texttt +$，$s{i,1}=s{1,i}$，$|s{i,1}|=1$，$s{i,1}\ne s_{j,1}$ （$i\ne j$）。

保证至多有一组解。

输出格式

第一行输出各个字母表示什么数，格式如：L=0 K=1 $\cdots$ 按给出的字母顺序排序。不同字母必须代表不同数字。

第二行输出加法运算是几进制的。

若不可能组成加法表，则应输出 ERROR!。

样例 #1

样例输入 #1

5
+ L K V E
L L K V E
K K V E KL
V V E KL KK
E E KL KK KV

样例输出 #1

L=0 K=1 V=2 E=3
4

关于本题只能为 $n-1$ 进制的证明

假设为 $n$ 进制

那么最大的一位数为 $n-1$

1. 若没有进位：

   设加法表中最大的一位数为 $x$

   1. $x≠0$

      $∵x+x=2x>x$

      $∴$ 最大的数为 $2x$

      这与最大的数为 $x$ 不符

   2. $x=0$

      $x+x=x$

      此时加法表为：

      +	0
      0	0

      此时无法判断为几进制(可为任意进制)

      综上此加法表必有进位

2. $∵$ 有进位

   $∴$ 那么进位后的最小数为 $10_n$，最大数为 $\overline{1x}_n$ ($x=n-2$)

   $∴$ 必须有 $1$

   $∵1+1=2$

   $∴$ 必须有 $2$

   $……$

   以此类推

   像这样递推下去，当出现 $n-1$ 时，$(n-1)+1=10_n$

   $∴$ 必然有 $0$，而且最多有 $0$~$n-1$ 这 $n$ 个数

综上所述，有多少个数，进制就为多少